Biografia de Georg Cantor

Biografia de Georg Cantor

Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor - matemático de origem Russa, nasceu na cidade de St. Petersburg a 03 de março de 1845. Deixou a Rússia ainda menino, emigrando com a família para a Alemanha. Sua formação foi realizada na Alemanha e Suíça, primeiramente na Universidade de Zurich até 1862, posteriormente na de Berlim, onde foi aluno de notáveis matemáticos como Ernst Kummer, Karl Weierstrass e Leopold Keonecker, e finalmente em Göttingen. Na universidade de Berlim ele recebeu o seu doutorado em 1867, aceitando em 1872 sua nomeação na Universidade de Halle como professor assistente de matemática, assumindo a direção da cadeira a partir de 1879, caracterizando-se, sua vida, por contrastante sucesso de períodos de grande lucidez, quando produziu obras geniais, e períodos de forte depressão, que obrigavam seu internamento em clínicas de doenças mentais.

No dizer de muitos, a teoria dos conjuntos, criada por cantor, é uma das mais notáveis inovações matemáticas dos últimos séculos. Nessa teoria, Cantor apresenta demonstrações novas de fatos conhecidos e, ao lado disso, inúmeros fatos novos. A teoria contribuiu decisivamente para que se passasse a encarar sob outra perspectiva os problemas da matemática, desde os que surgem nos fundamentos da disciplina até os que são típicos de ramos especializados da álgebra, da análise e da geometria.

Apresentada em pleno século XIX, a teoria dos conjuntos foi muito combatida pelos contemporâneos de Cantor, suscitando várias polêmicas. A intervenção de paradoxos que conduziam a resultados aparentemente inaceitáveis, e a rejeição de axiomas clássicos, muito contribuíram para o não reconhecimento, por parte dos matemáticos da época, da nova teoria. Todavia, com o decorrer dos anos, as aplicações da teoria dos conjuntos vieram comprovar sua extraordinária importância para o progresso da análise.

Os primeiros trabalhos do célebre matemático estão voltados para a questão dos números. Cantor estava interessado no decênio que se inicia em 1870, em estabelecer sólidos fundamentos para o continuum dos números reais e mostra, entre outras coisas, que há conjuntos não enumeráveis.

Ao distinguir números algébricos e transcendentais ( não algébricos, ou melhor esclarecendo: número transcendental é um número irracional que não é uma raiz de qualquer equação polinomial com coeficientes inteiros. ) , Cantor encontra maneira de comparar os tamanhos de conjuntos infinitos, mostrando que o conjunto de todos os números é maior do que o conjunto dos números algébricos. Encarar totalidades, e não objetos individuais ( números, pontos ou funções ), é uma das inovações de Cantor, revelando-se que as totalidades possuem propriedades que não são partilhadas pelos objetos dessas totalidades. O inesperado resultado relativo ao conjunto de todos os números algébricos, que Cantor estabelece, bem como a total novidade dos métodos empregados, assinalam a capacidade inventiva do jovem matemático. Em 1872 ele definiu números irracionais em termos de seqüências convergentes de números racionais.

Valendo-se da distinção que Bolzano havia postulado, entre classes infinitas e finitas, Cantor define conjuntos similares, ou eqüipotentes ( que podem ser postos em correspondência biunívoca ), e mostra a diferença entre cardinais e ordinais, que deixa de ser trivial quando os conjuntos são infinitos. Em 1873, ele provou que os números racionais podem ser colocados em correspondência biunívoca com os números naturais. Em 1874, Cantor demonstra que a classe de todos os números algébricos é enumerável; em 1878 apresenta regra para construir classe não enumerável de números reais.

Entre as conseqüências dos estudos de Cantor está a de que existem totalidades que não são eqüipotentes, podendo um conjunto infinito ser colocado em correspondência com uma de suas partes próprias. O velho axioma do " Todo maior que as partes " foi, assim, banido da matemática, quando se trata de conjuntos infinitos. São vários os tipos de infinitude, de que resultaram os números transfinitos, cuja álgebra peculiar foi examinada por Cantor chegando a mostrar , em 1871, que em um certo sentido " quase todos " números são transcendentais e que daí surgiu a sua definição de continuidade que é ainda hoje assunto de muitos estudos. O trabalho de Cantor que conduzido pelo próprio professor Kronecker foi atacado por muitos matemáticos, inclusive por Henri Poincaré. Apesar da descoberta dos paradoxos da teoria dos conjuntos, Cantor nunca duvidou da verdade absoluta do seu trabalho, tendo sido apoiado por Dedekind, Weierstrass, David Hilbert, Russell e Zermelo. Hilbert descreveu o trabalho de Cantor da seguinte maneira: " o melhor produto de gênio matemático e uma das realizações supremas da atividade humana puramente intelectual ".

A existência de conjuntos infinitos foi debatida e severamente criticada, particularmente porque não dava meios para a construção das totalidades em pauta e porque originava paradoxos indesejáveis. A maneira de contornar esses paradoxos caracteriza, em suas linhas mestras, as investigações que ainda hoje são objetos de estudos no setor de fundamentos da matemática.

Tomando por base o contínuo linear, Cantor desenvolve a " Teoria de conjuntos de pontos ", em que surgem noções como as de ponto de acumulação, conjunto fechado, conjunto perfeito, etc., bem como a teoria geral dos conjuntos, em que aparecem noções como as de números cardinal e ordinal, ordem, etc., que são muito comuns na terminologia contemporânea.

A metrificação de conjuntos foi explorada por Cantor entre 1880 e 1890, chegando com os trabalhos de Borel em 1894 e Lebesgue em 1902.

As aplicações da teoria dos conjuntos à solução de questões relativas à estrutura algébrica de vários tipos de conjuntos e a questões relativas às suas propriedades operatórias abriram novos rumos para os matemáticos, ressaltando, entre outras aplicações, a extensão dos conceitos de medida e de integral, a introdução das noções de espaço abstrato, definido como conjuntos de elementos com dadas propriedades, e bem assim notáveis inovações no campo da integração e no do estudo das funções, examinadas à luz da correspondência entre conjuntos.

A teoria dos conjuntos é um alicerce sobre que assenta toda a matemática de hoje, tal como agora ensinada, sendo recente a tentativa de formular uma teoria ainda mais geral que poderia substituí-la nesse papel.

Entre 1895 e 1897, Cantor publicou " Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre " ( Contribuições para a fundamentação da teoria das quantidades transfinitas ).

Em 1915, foi planejado em Halle um evento para comemorar o septuagésimo aniversário de Cantor, tendo sido cancelado pelo fato de que o pais estava em guerra.

Entre 1916 e 1918, Cantor adoeceu e voltou à clínica psiquiátrica em Halle, onde faleceu no dia 6 de janeiro de 1918.